Crashes Algebra

  Zbiór zer rzeczywistego wielomianu dwóch zmiennych jest krzywą in ℝ^2. Dla ogólnego wyboru jego współczynników jest to krzywa nieosobliwa, zbiór okręgów i linii odpowiednio osadzonych wℝ^2. Jakie układy topologiczne tych okręgów i linii występują dla wielomianów danego stopnia? To pytanie pojawiło się w XIX wieku w pracach Harnacka i Hilberta i zostało przez Hilberta włączone do jego XVI problemu . Do dzis jest to nierozwiazany problem . Wykres krzywej pierwszego stopnia to prosta , wykres krzywej drugiego stopnia to stozkowe ( parabola , hiperbola ,elipsa ) . Co z krzywymi wyzszego stopnia ? Harnack udowodnil , ze maksymalna ilosc spojnych komponentow dla krzywej n stopnia na plaszczyznie rzutowej RP^2 jest ograniczona przez 0.5 #( n-1)(n-2)+1. Szukajac modelu minimalnego otrzymujemy z nierownosci Harnacka dwa punkty stale 1 i 4 . Kolejna maksymalna ilosc punktow w nierownosci Harnacka to 1,1,2,4,7,11. Wiemy ,ze rzut zbioru semialgebraicznego jest semialgebraiczny ( Tarski ) . J...

 John von Neumann (1903,1957) poszukujac tego co ostatecznie istotne w swojej ostatniej ksiazce  The computer and the brain dotyka trzech dualnosci. Ciaglosc a dyskretnosc, obliczenia szeregowe a rownolegle, problem kompresji , krotkiego kodu ,ktory zawiera pamiec dlugoterminowa , tego co istotne. Robi tez uwage, ze realne obliczenia w mozgu moga zawierac bardzo prymitywna matematyke  niezrozumiala z punktu aktualnej kultury. My pamietamy uwage Wilhelma von Humboldta, ze tylko prymitywne jezyki i zwroty maja jasne konsekwencje. Do tej pory element bazowy 1+sqrt3 w pierscieniu Zsqrt3 z reprezentacja ulamkow lancuchowych mialy znaczenie jako optymalny stop, rezonans w 1 D, dyskretny odpowiednik niezmiennika Emilly Noether czy perkolacja hiperboliczna .  Do tej pory za analog ciagly uwazalismy logarytm nat. z jednakowa pochodna Schwartza. Endre Szemeredi  ( nagroda Abela w 2012 ) w pracy Optimal parrarel selection has compexity  O( lnln n) daje bardzo istotna ...

   Louis Bachelier  (1870-1946) opublikował rozprawę doktorską pt. ,,Théorie de la spéculation”. Sformułował w niej teorię błądzeń przypadkowych niemal identyczną z teorią Einsteina i Smoluchowskiego (pięć lat przed nimi). Praca dotyczyła spekulacji na paryskiej giełdzie. Rolę położenia odgrywała cena akcji, a zderzeniami z cząsteczkami ośrodka są w tym przypadku niezależne oferty kupna-sprzedaży tysięcy graczy i naplywajace ciagle informacje . Leo Kadanoff (1937, 2015) i Tong Zhou pokazali alternatywe dla ruchow przypadkowych i przypadkowych krokow. Ich propozycja to inelastic collapse dla przeplywow realnych granulatow piasku z gorki czy lawiny sniegu a nie zadnych atomow.. Energia kinetyczna w tym przypadku nie jest zachowywana , nastepuje nieskonczona ilosc niezaleznych kolizji a pewne stopnie swobody za zamrazane. Kluczowy ilosciowy wynik dla wspolczynnika restytucji ( wielkosc bezwymiarowa jako stosunek predkosci ukladu  po zderzeniu do predkosci przed zderzeni...

 James Clark Maxwell podal warunek sztywnosci mechanicznej konstrukcji integrujac  ilosc krawedzi k z iloscie wierzcholkow w w R^3 jako 3 w-6 =k .  Gerard Laman podal warunek minimalnej sztywnosci dla grafow na plaszczyznie jako  2w-3 dla calosci grafu i mniejsze , rowne dla podgrafow. W obu przypadkach mamy punkt staly w=3 i  k=3. Na plaszczyznie mamy zatem minimalnie sztywny trojkat z symetria 120 stopni. Gdy 3 punkty leza na  prostej otrzymujemy  nic innego jak warunek afinicznosci , ktorym sie poslugujemy. Punkt wybuchowy jest jedynym punktem stalym dla spojnosci. Zatem nie badajac afinicznosci pozostaja nam bajki i narracje z mchu i paproci , ktore slepe kury uwielbiaja. Oczywiscie 1+sqrt3 ma liczbe punktow stalych  Nielsena 3 . Badajac wykresy czy grafy wypada wiedziec jakie sa ogolne zasady tego co istotne i stabilne.

  Dynamika symboliczna to szybko rozwijający się obszar systemów dynamicznych.  Chociaż powstała jako metoda badania ogólnych układów dynamicznych, znalazła znaczące zastosowania w kodowaniu i kompresji danych do przechowywania i transmisji ich, a także w algebrze liniowej . Fundamentalny  jakosciowy zwiazek dynamiki symbolicznej w teoria grafow . Dla operatora 1+sqrt3 w postaci macierzowej / (1,3),( 1,1 ) / . Z teorii Nielsena mamy minimum 3 punkty stale A,B, C . Ograniczenie na  liczbe krawedzi pomiedzy poczatkiem A i koncem  C daje interpretacja naszego operatora.  Od A do C musza istniec 3 krawedzie przeplywu , zwrotna z C do A tylko jedna , z Ado A jedna i z B do B jedna petla. Dwie krawedzie z A do C z B bedacym punktem podzialu sa oczywiste to 1+sqrt3 i odpowiednia wielkosc zielona przez  slad (1+sqrt3) =2 .  Z mapy Henona (x,y)=(y,1-y-2x^2) mamy odpowiedni 1 cykl czyli punkt staly 0.366025403 i 3 cykl (0.5,0.5 ), (0.5,0), (0,0.5),(0.5,0.5)...

 The Henon map can be identified uniquely with the static extrema of a particular Hamiltonian describing an infinite chain of mutually interacting atoms under the influence of an external potential. This interpretation, while interesting in its own right, is exploited more as a computational tool for locating periodic orbits than as a means to gain insight into the dynamics. Henon map carries another physical interpretation that directly addresses the dynamics; it is identical to the period one return of a periodically kicked harmonic oscillator nonlinearly coupled to the kicking term. This interpretation holds for the conservative, dissipative, and logistic limit cases. To wazna interpretacja fizyczna. Milnor pokazal ,ze mapy Henona skladaja sie z fundamentalnych kawalkow , automorfizmow na plaszczyznie. Dla mapy Henona  x(n+1)=by(n)+1-ax(n) i y(n+1)=x(n) dla b= -1  mamy stabilny punkt staly (-1+sqrt(1+a))/ a.  Oczywiscie dynamika symboliczna w postaci ulamka lancuc...

 Richard Schwartz rozwiazal problem bilarda zewnetrznego.  Bilard zewnętrzny to podstawowy układ dynamiczny zdefiniowany w odniesieniu do wypukłego kształtu w płaszczyźnie.  BH Neumann wprowadził ten system w latach pięćdziesiątych XX wieku, a J. Moser spopularyzował go jako zabawkowy model mechaniki niebieskiej.  Przez cały czas tak zwana kwestia Mosera-Neumanna była jednym z głównych problemów w tej dziedzinie.  To pytanie dotyczy tego, czy można mieć zewnętrzny system bilardowy z nieograniczoną orbitą.  Pytanie Mosera-Neumanna jest wyidealizowaną wersją pytania, czy z powodu niewielkich zakłóceń na jej orbicie Ziemia może wyrwać się z orbity i odlecieć od Słońca.  W Outer Billiards on Kites Richard Schwartz przedstawia swoje twierdzące rozwiązanie problemu Mosera-Neumanna.  Pokazuje, że zewnętrzny system bilardowy może mieć nieograniczoną orbitę, jeśli jest zdefiniowany w stosunku do dowolnego irracjonalnego latawca.  Latawiec to czworokąt...