ONE MUST ALWAYS TOPOLOGIZE.Marshall Stone. Poincare odkrył,że ilościowe metody binarne Newtona są niewłaściwe już w przypadku  dynamiki 3 ciał. Alternatywnie zaproponował on  szereg metod jakościowych.Ich istotą jest obserwacja tego co niezmiennicze pomimo zmian.0. Wyrażamy obiekty w języku topologii a zamiast izometrii stosujemy fukcję ciągłą.1.Aleksadroff w pracy Elementarne koncepcje w topologii rozpoczyna od NIE ISTNIEJE RETRAKCJA SYMPLEKSU NA JEGO BRZEG. W elementarnym przypadku nie istnieje retrakcja odcinka a jego końce.Ma to fundamentalne znaczenie. Z naiwnej ciągłej obserwacji nic nie można wywnioskować o końcu i początku.Twierdzenie że pandemia skończyła się w lipcu 2020 jest tego klasycznym przykładem.2 Topological quantum field theory. Nie istnieje kwantowa całość . To co istnieje to podział tej całości na 2 podukłady. Zasadniczym problemem jest jak związać początek z końcem. Renormalizacja jest możliwa tylko dla małych wymiarów od 1 do 4. Stąd kluczowe co jest zachowane przy rzutowaniu( tw. Tarskiego Seidberga o rzutowaiu zbiorów semialgebraicznych).3 Topological fixed point theory Niezmieniki Nielsena , niezmienniki Sulivana i klasy zachowujące ilość punktów stałych.4 Sympleksy przestrzeń polska jest asymptotyczym ograniczeniem sympleksu i dlatego martyngały jako ułamki łańcuchowe dla liczb niewymiernych.5 Kluczowe dla nas jest podobnie jak w teorii fali pilotującej lokalizacja brzegu za pomocą prawdopodobieństwa.Ilość wejść (żródeł) , punktów siodłowych i wyjść jest generowana przez odpowiednie wielomiany Poincare.6 Vassiliev uczeń Arnolda odkrył wielomiany Poincare dla pierwiastków wielomiaów niskich stopni. Nie sposób nie zauważyć że są one rówoważne przejściom fazowym 1 rzędu jako utraty zaufania.7 Fundamentalnie używamy 3 punktów i 2 dziur ( genus g=2). Wielomian Poincare w tym przypadku x^2+4x+1. 8Minimalna dylatacja dla układów hiperbolicznych ( 2 dziury i więcej ) x^4-x^3-x^2-x +1. 9 Spectrum Ruelle x#(2g-2).g=2 jest oczywiście punktem stałym.