AN OPTIMAL STOPPING FOR DIFFUSIONS.W przejsciu fazowym 1 rodzaju kluczowy problem ( problem Stefana) to kiedy schładzany układ cieczy i lody znajdzie się w jednej fazie. Jest to klucz do zozumienia dynamiki hossy ( bessy) i opcji amerykańskich.Klasyczny operator dyfuzji ma postać F=F'+F".Dla F=X^2 zgodnie z twierdzeniem Krammersa Warniera za rozwiązanie przyjmujemy największą wartość własną 1+sqrt3. Dyfuzja liczb natualnych na prostej za pomocą reprezentacji x^2-2x+1 prowadzi do klucza x^2-2x+1=(2x-2)+2 z rozwiazaniem 2+sqrt3. Szukamy w problemie Stefana nie temperatury a Enthalpy (sumy energii wewnetrzej i zewnętrznych ograniczeń).Finansowy poblem Stefana Shapley , Milnor On game on survival.Dla gier zerowych decyduje nie przypadek Darwina a odpowiednia macierz kwadratowa i wartości własne. Optymalnym rozwiązaniem są semimartingale ,czyli rozbicie na część deterministyczną i losową.Klasyczne martyngały są ciągłe.Dubins Schwarz Every local martingale is time change of Brownian motion.Są one niestabilne. 1 Nutz, Beiglboch Martingale ineqality and deterministic conteparts. Dyskretne martingale Ineqality są wyznaczone przez 2 deterministyczne elementy,nie ma mowy o losowości. 8733/780 as 6+3sqt3 z 2 punktami Nielsena (początkim , końcem )i jednakową ceną. Jeszcze wyrażniej wig 20 usd 265, 362,418,627 . Whyle Curie principle of one way processes.Końcowe rozwiązanią są bardziej niezmiennicze niż poczatkowe ( hossa 1998,2000 ---274up to 613,6 , 2021 , 2022 --- 633,615). Mamy stalą Diraca 2.36606=627/265.Twałe zejście poniżej 612 to koniec. 2 Pierre Lions towards a self consistency ov volatility.Model B.S i Mertona nie zakłada dynamiki wewnętrznej tylko reakcją na czynniki zewnętrzne.Vix max 18 marzec 2020, 24 styczeń 2022 i minimum 12 grudzień2023. Wybuch wojny 24 lutego vix był niżej niż 24 stycznia. Dla x^2-194x+1 0trzymujemy optymalną dyfuzję. Zarodek katastrofy wierzchołka (2+sqrt3)^4 czyni hossę od 12 grudnia 2023 bajką dla naiwnych, 3 Nutz Small time asymptotic of opction Pierwszy moment zależy tylko od warunków początkowych i jest postaci O(sqrtT). 4 Pierre Lions Non standartof stochastic control.gudzień 2023.Warunkowa kontrola sprowadza się do znalezienia optymalnego sprzęzenia zwrotnego. Determinizm generują superpozycje feedback . 1+sqrt3 i cała rodzina Zsqrt3 to elementarne sprzeżenia zwrotne wyprowadzne z semigrupy.WHITEHEAD This internal relatedness is the reason why an event can be found only just where it is and how it is,-that is to say, in j ust one definite set of relation ships. For each relationship enters into the essence of the eyent; so that, apart from that relationship, the event would not be itself. This is what is meant by the very notion of internal relations. It has been usual, indeed, universal, to hold that spatio-temporal relation ships are external. This doctrine is what is here denied. The conception of internal relatedness involves the analysis of the event iI).to two faCtors, one the under lying substantial activity of individualisation, and the . other the complex of aspects-that is to say, the complex of relatednesses as 'entering into the essence of the given event-which are unified by this individualised activity.