AN OPTIMAL STOPPING FOR DIFFUSIONS.W przejsciu fazowym 1 rodzaju kluczowy problem ( problem Stefana) to kiedy schładzany układ cieczy i lody znajdzie się w jednej fazie. Jest to klucz do zozumienia dynamiki hossy ( bessy) i opcji amerykańskich.Klasyczny operator dyfuzji ma postać F=F'+F".Dla F=X^2 zgodnie z twierdzeniem Krammersa Warniera za rozwiązanie przyjmujemy największą wartość własną 1+sqrt3. Dyfuzja liczb natualnych na prostej za pomocą reprezentacji x^2-2x+1 prowadzi do klucza x^2-2x+1=(2x-2)+2 z rozwiazaniem 2+sqrt3. Szukamy w problemie Stefana nie temperatury a Enthalpy (sumy energii wewnetrzej i zewnętrznych ograniczeń).Finansowy poblem Stefana Shapley , Milnor On game on survival.Dla gier zerowych decyduje nie przypadek Darwina a odpowiednia macierz kwadratowa i wartości własne. Optymalnym rozwiązaniem są semimartingale ,czyli rozbicie na część deterministyczną i losową.Klasyczne martyngały są ciągłe.Dubins Schwarz Every local martingale is time change of Brow