Crashes Algebra

 James Clark Maxwell podal warunek sztywnosci mechanicznej konstrukcji integrujac  ilosc krawedzi k z iloscie wierzcholkow w w R^3 jako 3 w-6 =k .  Gerard Laman podal warunek minimalnej sztywnosci dla grafow na plaszczyznie jako  2w-3 dla calosci grafu i mniejsze , rowne dla podgrafow. W obu przypadkach mamy punkt staly w=3 i  k=3. Na plaszczyznie mamy zatem minimalnie sztywny trojkat z symetria 120 stopni. Gdy 3 punkty leza na  prostej otrzymujemy  nic innego jak warunek afinicznosci , ktorym sie poslugujemy. Punkt wybuchowy jest jedynym punktem stalym dla spojnosci. Zatem nie badajac afinicznosci pozostaja nam bajki i narracje z mchu i paproci , ktore slepe kury uwielbiaja. Oczywiscie 1+sqrt3 ma liczbe punktow stalych  Nielsena 3 . Badajac wykresy czy grafy wypada wiedziec jakie sa ogolne zasady tego co istotne i stabilne.

  Dynamika symboliczna to szybko rozwijający się obszar systemów dynamicznych.  Chociaż powstała jako metoda badania ogólnych układów dynamicznych, znalazła znaczące zastosowania w kodowaniu i kompresji danych do przechowywania i transmisji ich, a także w algebrze liniowej . Fundamentalny  jakosciowy zwiazek dynamiki symbolicznej w teoria grafow . Dla operatora 1+sqrt3 w postaci macierzowej / (1,3),( 1,1 ) / . Z teorii Nielsena mamy minimum 3 punkty stale A,B, C . Ograniczenie na  liczbe krawedzi pomiedzy poczatkiem A i koncem  C daje interpretacja naszego operatora.  Od A do C musza istniec 3 krawedzie przeplywu , zwrotna z C do A tylko jedna , z Ado A jedna i z B do B jedna petla. Dwie krawedzie z A do C z B bedacym punktem podzialu sa oczywiste to 1+sqrt3 i odpowiednia wielkosc zielona przez  slad (1+sqrt3) =2 .  Z mapy Henona (x,y)=(y,1-y-2x^2) mamy odpowiedni 1 cykl czyli punkt staly 0.366025403 i 3 cykl (0.5,0.5 ), (0.5,0), (0,0.5),(0.5,0.5), czyli odpowiednoi dzielniki naszej kr

 The Henon map can be identified uniquely with the static extrema of a particular Hamiltonian describing an infinite chain of mutually interacting atoms under the influence of an external potential. This interpretation, while interesting in its own right, is exploited more as a computational tool for locating periodic orbits than as a means to gain insight into the dynamics. Henon map carries another physical interpretation that directly addresses the dynamics; it is identical to the period one return of a periodically kicked harmonic oscillator nonlinearly coupled to the kicking term. This interpretation holds for the conservative, dissipative, and logistic limit cases. To wazna interpretacja fizyczna. Milnor pokazal ,ze mapy Henona skladaja sie z fundamentalnych kawalkow , automorfizmow na plaszczyznie. Dla mapy Henona  x(n+1)=by(n)+1-ax(n) i y(n+1)=x(n) dla b= -1  mamy stabilny punkt staly (-1+sqrt(1+a))/ a.  Oczywiscie dynamika symboliczna w postaci ulamka lancuchowego dla 1+sqrt3

 Richard Schwartz rozwiazal problem bilarda zewnetrznego.  Bilard zewnętrzny to podstawowy układ dynamiczny zdefiniowany w odniesieniu do wypukłego kształtu w płaszczyźnie.  BH Neumann wprowadził ten system w latach pięćdziesiątych XX wieku, a J. Moser spopularyzował go jako zabawkowy model mechaniki niebieskiej.  Przez cały czas tak zwana kwestia Mosera-Neumanna była jednym z głównych problemów w tej dziedzinie.  To pytanie dotyczy tego, czy można mieć zewnętrzny system bilardowy z nieograniczoną orbitą.  Pytanie Mosera-Neumanna jest wyidealizowaną wersją pytania, czy z powodu niewielkich zakłóceń na jej orbicie Ziemia może wyrwać się z orbity i odlecieć od Słońca.  W Outer Billiards on Kites Richard Schwartz przedstawia swoje twierdzące rozwiązanie problemu Mosera-Neumanna.  Pokazuje, że zewnętrzny system bilardowy może mieć nieograniczoną orbitę, jeśli jest zdefiniowany w stosunku do dowolnego irracjonalnego latawca.  Latawiec to czworokąt o przekątnej będącej linią dwustronnej syme

  Hawking  Steven  udowodnił twierdzenie, które głosi, że warunek stabilnej przyczynowości  jest spełniony wtedy, gdy w danej czasoprzestrzeni istnieje czas globalny, tzn. czas  pokrywający całą historię wszechświata . Ponieważ krzywe czasopodobne i zerowe łącznie nazywa się krzywymi przyczynowymi (mogą one bowiem przenosić oddziaływania przyczynowe), zamiast o stabilności strukturalnej mówi się również o stabilnej przyczynowości . Twierdzenie Poincare o powrotach jest jakosciowa a nie ilosciowa teoria. Szacowany stan powrotu blisko danego stanu poczatkowego nierealistycznie dlugi. Dla rozmaitosci symplektycznej w 2D wyglada intrygujaco T^(3/2) . Dla stanow w ktorych sa stabilne izolowane punkty i reszta chaotyczna czas powrotu wynosi T^3. Oczywiscie trzeba pamietac o odkryciu Tolmana w teorii wzglednosci , poszczegolne fazy ciagle sie wydluzaja i odkryciu Tiplera swiat w teorii wzglednosci nie moze zawierac klasycznej periodycznosci. ZOSTALY ZATEM TYLKO QUASICRYSTALS NA CALOSCI ?

 Paul Erdos i Alfred Renyi  zaproponowali ewolucje grafu losowego G(n,k ), gdzie n liczba punktow ,  k liczna krawedzi pomiedzy punktami. Dla k/n =1/2 zachodzi gwaltowne przejscie fazowe , poszczegolne skladniki staja sie spojne. Ponizej punktu krytycznego 0.5 skladniki sa rzedu O(ln n),w punkcie fazowym rzedu O( n^(2/3) , powyzej wszystko zaczyna byc rzedu O(n). To co tu jest trudne do intuicyjnego pojecia to logika prawa zero jedynkowego. . Pewne skladniki wystepuja praktycznie z prawdopodobienstwen zero i nastepuje klasyczny skok do prawdopodobienstwa bliskiemu 1. Garri Kasparow w ksiazce Ostatni bastion umyslu podkresla potrzebe poszukiwania nieoczekiwanej i sensownej  kontynuacji w rozwazaniach jak najwczesniej. Pomimo,ze w prawdopodobienstwie zawsze  postulujemy duza ilosc n to geometryczny warunek Erdosa Renyia w jezyku topologii punktow stalych liczb Nielsena mowi ,ze 2 punkty stale a zatem i jedna krawedz jest tylko wbudowana w teorie rotacji na torusie dla 2+sqrt3 i 1+sqrt2.