ANOSOVA AUTOMORFIZM  to, przyklad nieuklidesowej geometrii , gdzie  lokalizacja istotnych punktow nie wynika z lokalnych wlasnosci a z dlugoterminowych relacji. Na 2 torusie jest on okreslny przez macierz 2#2 z wykladnikami calkowitymi i wyznacznikiem -,+1. Jest on hiperboliczny , gdy jedna wartosc wlasna , ktora opisuje ekspancje jest wieksza od zera a druga co do watosci bezwzglednej lezy wewnatrz kola jednostkowego . lnaczej jest to  grupa w pierscieniu  Quasicrystals ,ze wzgledu na mnozenie macierzy. Anosov  ON the hyperbolic automorphism of the 2 totus . Yoccoz , Palis  Centralizers of Anosov diffemorphisms on tori udowodlili  ze centalizator dla 2+sqrt3 jest trywialny ,czyli jest tylko potega 2+sqrt3 .  Zachowujac abelowosc i odrzucajac warunek det -+1 otrzymujemy centralizator 2+sqrt3 jako pierscien Zsqrt3  i budujc dynamike na realnym torusie. Kadanoff , tworca blokowania na kracie w poblizu przejscia fazowego w pracy Berker  Kadanoff Ground state entropy and algebraic order at low temperature przedstwil warunek ekstremalnego uporzadkowania / wszystkie krowy w nocy sa czarne / w terminach pierscienia Z jako x^2-3x+2=0 , z pierwiastkami 1,2. Entropia jest w przeplywie , strumieniu a nie w jakims statycznym stanie / kolejny jego pomysl /. Oczywiscie automofizm Anosowa to liczy niewymierne . Zaburzajac uklad przez nastepnik x+1 / llub jak kto woli przez srednia dyfuzji i 1 pochodnej fali x^2/ otrzymujemy/ x^2-3x+2=x+1/  bazowy automorfizm Anosowa . Dirac radzil ,aby sprawdzic kluczowy wynik w geometrii rzutowej . Zatem cross ratio CR/ 2+sqrt3, 2,1,2-sqrt3/=2+sqrt3  zachowuje wlasnosc bycia automorfizmen Anosova. Z uwagi ,ze liczba Nielsena dla 2+sqrt3 wynosi 2  kandydatow na punkty stale szukamy wsrod 1,2 ,2-sqrt3, 2+sqrt3. Oczywiscie sqrt3 jest tylko skrotem i  do realnych obliczen wykorzystujemy bazowa wlasnosc qyasicrystals ekstremalnie precyzyjna prroksymacje diofantyczna / patrz prace Meyera/ .Leibnitz wykorzystal jako bazowe 0 i 1 jako naturalne operacje.  Natura posluguje sie jednak binarnym systemem 1,2 jako ulamkiem lancuchowym realizujacym automorfizm  Anosowa.